1 Ocak ve 31 Aralık

2018 yılının 1 Ocak ve 31 Aralık günleri Pazartesi'ne denk geliyor. Gelecek yıl da aynısı olacak mı? Genel olarak hangi yıllarda denk gelir?

Euler Projesi 242. Soru

Tek Üçlüler

{1,2, ..., n} kümesi verildiğinde f(n, k) değerini, kümenin toplamları tek olan k-elemanlı alt kümelerinin sayısı olarak tanımlarız. Örneğin f(5,3) = 4, çünkü {1,2,3,4,5} kümesinin, tek toplama sahip dört adet 3-elemanlı alt kümesi vardır: {1,2,4}, { 1,3,5}, {2,3,4} ve {2,4,5}.

n, k ve f(n, k) değerlerinin üçü de tek olduğunda, bir [n, k, f(n, k)] tek üçlüsünü oluşturduklarını söyleriz.

n ≤ 10 için tam olarak beş adet tek üçlü vardır: [1,1, f(1,1) = 1], [5,1, f(5,1) = 3], [5,5, f(5,5) = 1], [9,1, f(9,1) = 5] ve [9,9, f(9,9) = 1].

n ≤ 10¹² için kaç tek üçlü vardır?

Matematik Hünerleri

ıllıllı ⓜⓐⓣⓔⓜⓐⓣⓘⓚ ⓗⓤⓝⓔⓡⓛⓔⓡⓘ ıllıllı

Her zaman 15

1. Bir sayı tut
2. 3 ile çarp
3. 45 ekle
4. 2 ile çarp
5. 6 ile böl
6. Bulduğun sonuçtan tuttuğun sayıyı çıkar
7. Cevap 15.

Kayıp Basamak Hilesi

1. Arkadaşına gizlice en az 4 basamaklı bir sayı yazmasını söyleyin
2. Basamaklarını toplasın
3. Yazdığı sayıdan çıkarsın
4. Şimdi bu sayıdan herhangi bir basamağı silsin
5. Kalan sayıyı size söylesin
6. Silinen rakam nedir? Kalan sayının basamak toplamının sonraki 9'un katına olan farkıdır.

Güvenli İnternet İletişimi

Şifreleme matematiği olmadan hiç kimse güvenli bir şekilde internette alışveriş yapamaz, fatura ödeyemez ya da işlerini yürütemezdi. Yüzyıllar önce ortaya çıkan cebirsel gerçeklere dayanmakla birlikte, bugünün sofistike şifreleme teknikleri son yirmi beş yıl içinde formüle edilmiştir.

 Açık anahtarlı şifreleme, bir kullanıcının şifre çözme anahtarını gizli tutarken, herkesin kullanımı için şifreleme anahtarını yayınlamasına olanak tanır. RSA denilen böyle bir algoritma, modern tarayıcılardaki şifrelemenin esasıdır. Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü, önümüzdeki yıllarda elektronik haberleşme için kullanılacak bir Gelişmiş Şifreleme Standardı (AES) kabul etti. Bu yeni standart, bilgiyi serbestçe ve güvenli bir şekilde iletmek için permütasyonları, modüler aritmetiği, polinomları, matrisleri ve sonlu cisimleri kullanıyor.

Matematik Deyişler: Kasner, E. ve Newman, J.

"Matematik, sadece düşünce yasalarının dayattığı sınırlamalara tabi olan insan yapısı bir eserdir." Kasner, E. ve Newman, J.

Ted-Ed: Neden rakipler mağazalarını birbirinin yanına açarlar?

Neden bütün benzin istasyonları, kafe ve lokantalar kalabalık tek bir noktada toplanır? İki rekabetçi kuzen küçük bir kumsalda dondurma satışı hâkimiyeti için çekişirken, oyun kuramı ve Nash Dengesi'nin bu satış noktalarını nasıl canlandırdığını keşfedin.

Dersin Tamamı: https://ed.ted.com/lessons/why-do-competitors-open-their-stores-next-to-one-another-jac-de-haan

Kaotik Sayılar

Hemen hemen her gerçel sayıdan sonsuz sürekli kesir açılımı (ska) bölümleri üretme işlemi kaotik bir süreçtir. Genişletmek istediğimiz sayı u₁ olsun ve tam sayı kısmı k, kesir kısmı x₁ olmak üzere
$$u_1=k+x_1$$
şeklinde ayırırız.
Bazen tam kısmını almak üzere k=[u] yazarız, mesela [$\pi$]=3, [e]=2. Şimdi, $\pi$ gibi bir sayı ile başlarsak, ilk k₁ bölümü sadece [$\pi$]=3 olur ve kesir kısmı da x₁=0,141592. Sonraki bölüm
$$k_2=[1/x_1]=[1/0,141592...]=[7,0625459...]=7$$
kesir kısmının tam sayı kısmı olur; sonraki kesir kısmı $x_2=0,0625459...$ ve böylece
$$k_3=[1/x_2]=[1/0,0625459...]=[15,988488...]=15$$
olur. Bu basit süreç daha önce verdiğimiz $\pi$'nin ilk birkaç bölümünü verir. Kesir kısımlar her zaman 0 ile 1 arasında gerçel sayılardır. 0 ve 1'e eşit olamazlar, aksi halde ya u₁ sayısı bir rasyonel kesir olur ya da ska sonlu olurdu. Ardışık kesir kısımları üretme süreci aşağıdaki doğrusal olmayan fark denklemi ile verilir:
$$x_{n+1}=T(x_n)=1/x_n-[1/x_n].$$

Yaş Problemi

1982 yılında annesinin yaşının karesi Ali'nin doğum yılının (soldan) ilk üç hanesindeki üç basamaklı sayıya eşit oluyor. Buna göre Ali'nin yaşı nedir?

Dünya'nın En Büyük 5 Tuz Gölü

5. Van Gölü*: Dünya'nın en büyük tuz gölleri sıralamasında Türkiye'den Van Tuz Gölü listeye 5. sıradan girdi. Van Gölü, Bitlis ili sınırları içerisinde bulunan Nemrut volkanik dağının patlaması sonucu, bölgedeki tektonik çöküntü alanının önünün kapanmasıyla oluşmuş bir volkanik set gölüdür. Van Gölü'nün yüzölçümü 3.713 km²'dir. Van Gölü hem tatlısu hem de deniz ekosistemlerinden farklı bir sucul ekosistemdir. Suları tuzlu ve sodalıdır. Göl suyu tuzluluk oranı %1,9 ve pH'sı ise 9,8 dir. Bu yüzden Van Gölü yüksek rakıma ve sert kışlara rağmen, donmaz. Göl su seviyesi iklime bağlı olarak yükselip, düşmektedir. Ancak ortalama olarak denizden yüksekliği 1646 metredir. Gölün ortalama derinliği 171 m, en derin yeri ise, 451 metredir. Gölün doğu bölümünde dört ada vardır. Bunlar; Akdamar, Çarpanak, Adır ve Kuş adalarıdır.

*Göllerin tuzlu olarak adlandırılması için tuzluluk oranının en az %0,3 olması gerekmektedir. Ancak bu göller dışarıya akıntısı olan ve olmayan (açık ve kapalı havzalı) olarak ikiye ayrılır. Buna göre dünyanın kapalı havzalı yüzey alanı olarak en büyük 5 tuz gölü şu şekildedir:

Euler Projesi 241. Soru

Mükemmellik Bölümleri

Pozitif bir n tam sayı için σ(n), n'nin tüm bölenlerinin toplamı olsun. Örneğin σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Muhtemelen bildiğiniz üzere mükemmel bir sayı için σ(n) = 2n dir.

Pozitif bir tam sayının mükemmellik bölümünü p(n) = σ(n)/n olarak tanımlayalım.

k bir tam sayı olmak üzere p(n)'nin k + 1⁄2 formuna sahip olduğu tüm pozitif n ≤ 10¹⁸ tam sayılarının toplamını bulunuz.