12 Nisan 2017

Fibonacci: Tavşanlar Problemi


Fibonacci'nin Liber Abaci'de incelediği matematiksel problemlerden biri de ideal koşullarda tavşanların ne kadar çoğalabilecekleri idi. Yeni doğmuş, bir erkek bir dişi, tavşan çiftini düşünün. Tavşanlat bir ay sonra yetişkin olup ikinci ayın sonunda yavrulayabilirler. Tavşanlarımızın asla ölmediğini ve dişilerimizin ikinci aydan itibaren her ay bir çift yavru (bir erkek, bir dişi) verdiklerini kabul edelim. Fibonacci'nin bulmacası şöyleydi: Bir yılda kaç çift tavşan olacaktır?
  • İlk ayın sonunda hala bir çift bulunur.
  • İkinci ayın sonunda dişi tavşan bir çift yavrular ve şimdi iki çift tavşan vardır.
  • Üçüncü ayın sonunda ilk çift bir çift yavru daha yapar, böylece üç çift olurlar.
  • Dördüncü ayın sonunda ilk ve sonraki dişiler birer çift yavru yaparak toplamda beş çift tavşan olurlar.
Şimdi $n$ ayın sonunda $x_{n}$ çift tavşan olsun. $n+1$'inci ayın sonunda çiftlerin sayısı $x_{n}$ çift artı yeni doğan çiftlerin sayısı olacak. Fakat en az 1 aylık olan çiftler sadece yavrulayabildiklerinden dolayı $x_{n-1}$ çift yeni doğan olacaktır. Yani $$x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}$$ elde edilir ki bu Fibonacci sayılarını üreten formüldür. Bunu takip ederek 12 ayın sonunda 233 çift tavşan bulunacağı hesaplanabilir.