5 Ekim 2018

Akıllara Durgunluk Veren 10 Denklem - 3

8. Fibonacci Dizisinin Açık Formülü: $$\Large F(n)=\frac{(\varphi)^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$Burada $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ olup altın oran diye bilinir. Çoğu kimse okul yıllarından Fibonacci dizisini duymuştur (1,1,2,3,5,8,13,21,34,...ilk iki sayının toplamı sonraki sayı), ancak yukarıdaki açık formülü çoğu zaman verilmez. Buna göre örneğin 100. Fibonacci sayısını bulmak için ilk 99 sayıyı bulmanız gerekmez. Sadece formülde n yerine 100 yazarsınız. Tüm kareköklere ve bölmelere rağmen sonuç hep tam sayı olacaktır.


9. Basel Problemi: $$\Large 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...=\pi^2/6$$Bu eşitliğe göre tüm kare sayıların çarpmaya göre terslerini topladığınızda pi sayısının karesinin altıda birini bulursunuz. Euler tarafından ispatlandı. Bu toplamın daha önceki bir yazıda verilen 2. denklemin sol tarafındaki fonksiyon olduğuna dikkat ediniz (s=2). Yani Riemann Zeta fonksiyonunun 2 için değeri pi sayısının karesinin altıda biridir.

10. Asal Sayıların Sayısı Fonksiyonu'nun Açık Formülü: $$\Large \pi (x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\mu (n)}{n}J(\sqrt[n]{x})\\ J(x)=Li(x)+\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-log2+\int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1)logt}$$İşte bu formülün önemi:
Herkes asal sayıları bilir (en azından bu yazıyı okumaya girişenler). Yine bilirler ki asal sayılar için belirli bir düzen yoktur.

Uzun zamandır matematikçiler asal sayıların düzenini veren bir uğraşı içindeler. Yukarıdaki formül belirli bir sayıdan küçük asal sayıların sayısını veren açık bir formüldür. Burada $\pi (x)$ asal sayma fonksiyonunu, $\mu (n)$ Möbius fonksiyonunu, $Li(x)$ logaritmik integral fonksiyonunu ve $\rho$ ise Riemann Zeta fonksiyonunun herhangi basit olmayan kökünü ifade eder.

İlginç olan şey bu formülün her zaman tam sayı değeri vermesidir. Buradan çıkarılacak sonuç ise her ne kadar halen anlamamız için erken olsa da asal sayılar için bir düzenin bulunduğudur.

Önceki yazı...