27 Ekim 2018

Euler Projesi 253. Soru:

Etrafı derleyip toplamak

Bir çocuğun kırk parçadan oluşan oyuncak bir "sayı tırtılı" var, her yapboz parçasının üzerinde bir sayı olup birleştirildiklerinde sırayla 1 den 40 a sayılar açığa çıkıyor.

Her gece çocuğun babası etrafa dağılan parçaları alıp topluyor. Parçaları rastgele alıp doğru sırada yerleştiriyor.

Tırtıl bu şekilde oluşturulurken, gittikçe birbiriyle birleşen segmentler oluşturuyor.

Segmentlerin sayısı 0 dan başlayıp (hiçbir parça yerleştirilmemiş) genellikle 11 ya da 12 ye kadar yükseliyor, sonra tekrar düşme eğilimine girerek tek bir segment olarak bitiyor (tüm parçalar yerleştirilmiş).

Örneğin:
Yerleştirilen ParçaO ana kadarki segmentler
121
42
293
64
345
54
354
Tırtılın rastgele derlenip toparlanması sırasındaki karşılaşılan maksimum segment sayısı M olsun.

10 parçalı bir tırtıl için her M için olasılıkların sayısı şöyledir:

MOlasılıklar
1512      
2250912      
31815264      
41418112      
5144000      
Böylece M nin en olası değeri 3 ve ortalama değer ise altı ondalık basamağa kadar $385643/113400=3,400732$ dir.

40 parçalı bir tırtıl için M nin en olası değeri 11 dir; ancak M nin ortalama değeri kaçtır?

Cevabınızı altı ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.
Cevap: 11,492847