24 Kasım 2018

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Babilliler

9 ile çarpım tablosunu içeren Babil çivi yazısı tabletleri
Her şey Babil'liler ile MÖ 3000 civarında başladı. Onlar dünyanın ilk medeniyetlerinden biriydi ve tarım, sulama ve yazı gibi bazı büyük fikirlerle ortaya çıktılar. Güneş'in, Ay'ın ve gezegenlerin yollarını çizdiler ve bunları kil tabletlerine kaydettiler (Britanya Müzesinde hala görebilirsiniz). Çemberin 360 derece olarak bölünme biçimi de dahil olmak üzere, modern açı fikirlerini Babillilere borçluyuz. Aynı zamanda (korkulan) vergi uzmanının daha az hoş bir icadı için borçluyuz. Ve bu, Babillerin ikinci dereceden denklemleri çözmek için ihtiyaç duydukları nedenlerden biriydi.


Diyelim ki sen bir Babil çiftçisisin. Çiftliğinin bir yerinde, ekin ürettiğiniz bir kare tarlanız var. Tarlada ne kadar ürün yetiştirebilirsin? Tarlanın her iki kenarının uzunluğunu ikiye katlayın ve daha önce aldığın mahsulün dört katı kadar ürün alacağını görürsün. Bunun nedeni, ekebileceğin mahsulün miktarının, tarlanın alanı ile orantılı olması, ki bu da kenarın uzunluğunun karesiyle orantılıdır. Matematiksel terimlerle, tarlanın kenar uzunluğunu x, birim kare tarlada büyütebileceğin mahsulün miktarı m ve alabileceğin mahsulün miktarıdır c ise bu durumda şu eşitlik bulunur:$$c=mx^2.$$Bu bizim açıkça görebildiğimiz ilk ikinci dereceden denklem. İkinci dereceden denklemler ve alanlar, aynı ailedeki erkek ve kız kardeşler gibi birbirlerine bağlıdır. Ancak şu anda bir şey çözmek zorunda değiliz - vergi memuruna gelene kadar yani! Neşeyle çiftçiye, "Çiftliğinizdeki vergileri ödemek için bana c kadar ürün vermenizi istiyorum." diyor. Çiftçinin şu anda bir ikilemi var: Bu miktarda ürün yetiştirmek için ne kadar büyüklükte tarlaya ihtiyaç var? Bu soruya kolayca cevap verebiliriz:$$x=\sqrt{c/m}.$$Hesap makinesi kullanarak kare kökleri bulmak kolay, ancak Babilliler için gerçek bir sorun. Aslında, modern bilgisayarların ikinci dereceden denklemlerden çok daha zor problemleri çözmek için kullandıkları algoritmaya (Newton-Raphson yöntemi olarak adlandırılan) özdeş olan, cevapların bir ardışık yaklaşımı şeklindeki yöntemi geliştirdiler.

Devam edecek...