3 Eylül 2019

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Konikler

Yunanlılar ayrıca koni şekliyle de çok ilgilenmişlerdir. Soldaki renkli resim tipik bir koniyi gösterir. Koninin yarısı bir fenerden gelen ışığın yayılması olarak görselleştirilebilir. Şimdi bir meşaleyi duvar gibi düz bir yüzeye tutarsanız, meşaleyi hareket ettirirken çeşitli şekiller göreceksiniz. Bu şekillere konik kesitler denir ve bir düzlemle bir koniyi çeşitli açılardan bölerseniz elde edeceğiniz eğrilerdir. Kesin olarak bu eğriler Yunanlılar tarafından incelenmiştir ve temel olarak dört tür konik kesit olduğunu kabul etmişlerdir. Koninin içinden yatay bir kesit alırsanız o zaman bir çember elde edersiniz. Yatayla küçük açılı bir kesit size bir elips verir. Dikey bir kesit alırsanız hiperbol olur ve koninin bir kenarına paralel bir kesit alırsanız parabol elde edersiniz. Bu eğriler yanda gösterilmektedir.

Konik kesitlerin bizim hikayemize girme sebebi her birinin ikinci dereceden bir denklem ile tanımlanmasıdır. Gerçekten, eğer $(x,y)$ her eğride bir noktayı temsil ediyorsa ikinci dereceden bir denklemle $x$ ve $y$ ilişkilendirilir. Şöyle ki:

Çember: $x^2+y^2=1$
Elips: $ax^2+by^2=1$
Hiperbol: $ax^2-by^2=1$
Parabol: $ax^2=y.$

Yunanların bu eğrileri çalışmalarına karşın çember haricinde uygulamada kullanmadıkları görülmektedir. Ancak sonraki yazılarda göreceğimiz üzere bu kesitlerin 16. yy'da evreni anlamada önemli katkıları olacaktır.