20 Eylül 2019

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Galileo

Photo by JR Korpa on Unsplash
İkinci dereceden bir denklemle tanımlanmış elips ile doğa arasındaki uyum, o dönemlerde dikkate değerdi. Sanki doğa söyler gibiydi: "İşte insanların bildiği bir eğri, biraz kullanalım." Bunun neden doğru eğri olduğunu anlamak için Galileo ve ardından Newton'u beklemek gerekti. Cevap belki de ikinci dereceden denklemlerin bu kadar önemli olması için tek önemli nedendir: İkinci dereceden denklemlerle ivme arasındaki bağlantı. Bu bağlantıyı 17. yüzyılın başında ilk tespit eden Galileo oldu.

Çoğu kişi, Pisa Üniversitesi'nde renkli bir Matematik Profesörü olan Galileo'yu duymuştur. Kariyerinin son kısmı, Kopernik'in güneş sistemi görüşünün geçerliliği üzerine İspanyol Engizisyonuyla yaptığı destansı savaşa sahne oldu. Bununla birlikte bundan önce yaşamının çoğunu nesnelerin nasıl hareket ettiğini incelemeye adadı. Galileo'dan çok önce Yunan bilim adamı Aristoteles (Aristo), maddenin doğal halinin hareketsiz kalmak olduğunu belirtmişti. Aristoteles ayrıca ağır nesnelerin hafif olanlardan daha hızlı düştüğünü söylemiştir. Galileo bu kabul görmüş bilge sözlerin her ikisine de meydan okudu. Galileo'nun çalışmalarının temelinde, arabamızı ne zaman ve nasıl durduracağımızı ve gol vuruşunun nasıl yapılacağını bilmek gibi hayati faaliyetlerle büyük ölçüde ilişkili olan dinamikleri anlama vardı.
Bunun merkezinde ise ivme fikrini ve ikinci dereceden denklemlerin oynadığı rolü anlama vardır.

Bir nesne üzerine etki eden bir kuvvet olmadan bir yönde hareket ediyorsa o zaman sabit bir hızla o yönde hareket etmeye devam eder. Bu hızı $v$ olarak adlandırabiliriz. Şimdi, eğer parçacık $x = 0$ noktasından başlar ve $t$ süresi boyunca bu yolda hareket ederse o zaman sonuçtaki konumu $x = vt$ ile verilir. Genellikle parçaçığın üzerinde etkili bir kuvvet vardır: Bir rugby topu için yerçekimi veya bir arabanın frenlerinde sürtünme gibi. Newton'a hızlıca gidersek sabit bir kuvvetin etkisinin $a$ gibi sabit bir ivme üretmek olduğunu biliyoruz. Eğer başlangıç hızı $u$ ise $t$ süre sonra $v$ hızı $t$ zamanda $v = u +at$ ile verilir. Galileo bu ifadeden parçaçığın konumunu belirlemeye gidebileceğini fark etti. Gerçekten parçacık $x = 0$ konumunda başlarsa $t$ zamanındaki $s$ konumu aşağıdaki şekilde verilir:$$s=ut+\frac{1}{1} at^2.$$Bu, $t$ ile $s$ arasında bağlantı kuran çok önemli çıkarımlara sahip ikinci dereceden bir denklemdir. Örneğin bir arabaya uygulanan frenleme kuvvetini bildiğimizi varsayalım: O zaman bu formül bize ne kadar uzağa $t$ gideceğimizi ya da tersine $t$'ye göre çözdüğümüzde belirli bir mesafeyi ne kadar sürede alacağımızı bulmaya yarar.

Devamı