1 Ekim 2019

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Galileo - 2

Photo by Matthew T Rader on Unsplash
Çok önemli bir uygulama da belirli bir $u$ hızıyla seyahat eden bir arabanın durma mesafesini bulmaktır. Bir arabanın böyle bir hızla gittiğini ve frene basıldığını düşünün, ne kadar zamanda araba durur? Gazeteciler bile, özellikle de kazadan kaçınmak anlamına geliyorsa bu soruya ilgi duyabilirler. Aslında bir aracı $u$ hızından 0' a kadar yavaşlatmak için $-a$ sabit ivmesi uygulanırsa o zaman $t$'ye göre çözüp yerine koymak $s$ durma mesafesini verir:$$s=\frac{u^2}{2a}.$$Bu sonucun hepimiz için çok önemli olmasının nedeni, hızınızın iki katına çıkmasının, durma mesafenizi dört katına çıkaracağını öngörmesidir. Bu ikinci dereceden ifadede, kentsel alanlarda neden yavaşlamamız gerektiğine dair kesin kanıtlar görüyoruz, çünkü hızdaki küçük bir azalma durma mesafesinde çok daha büyük bir azalmaya yol açıyor. Burada ikinci dereceden denklemin doğru çözülmesi, kelimenin tam anlamıyla sizin veya bir başkasının hayatını kurtarabilir!


Mesafeyi zamanla bağlantılayan basit ikinci dereceden formül aynı zamanda nesnelerin yerçekimi altında hareket etme şeklini inceleyen balistik biliminin temelini oluşturur. Bu durumda bir nesne $g$ sabit ivmesiyle $y$ yönünde düşer. Buna karşılık $x$ yönünde yatay olarak sabit bir hızla (hava direnci olmadığında) hareket eder. $x = y = 0$ noktasından $x$ yönünde $u$ ve yukarı yönde $v$ hızıyla başlarsa Galileo'ya göre $t$ anındaki konumu aşağıdaki şekilde verilir:$$x=ut\, \textrm{ve} \, y=vt-\frac{1}{2} gt^2.$$Başka bir deyişle, diğer bir$$y=(v/u)x-\frac{g}{2u^2}x^2,$$ikinci dereceden denklem elde edilir. Dikkat çekici olan, yörüngenin sonuç şeklinin elbette bir parabol olmasıydı.

Şimdi bir rugby maçının son dakikasında olduğunuzu ve mükemmel bir gol atma hedefiniz olduğunu varsayalım. Bunu yapmak için topa doğru açıda ve hızda vurmalısınız, böylece hedefe x mesafesi kadar gidip kale direğinin üzerinden geçmek üzere doğru $y$ yüksekliğinde olacaktır. Bunun için ikinci dereceden bir denklem çözmelisiniz. Tabi o anda bunu yapmak için zamanınız olmayabilir, bu da pratiğin gerektiği yer! Daha ciddi olarak parçacık yörüngesi için parabolik denklem - hava direnci, merminin dönüşü ve ayrıca Dünya'nın dönüşü için değişikliklerle birlikte - topçu hesaplarının temeli olarak görev yapar ... askeriyede kaybedilmemiş bir gerçek olarak Galileo'nun keşfi.

Sarkaçın keşfi ile Galileo'dan ayrılıyoruz. 1600 yıllarında Galileo Pisa'da bir kiliseye gidiyordu (mecburdu). Vaazdan sıkılarak bir avizenin ileri ve geri salınımını izlemeye başladı - dikkate değer bir keşif yaptı: Avizenin salınımı için geçen zaman genliğinden bağımsızdı. Bu keşif, sarkacın icat edilmesine ve büyük sarkaçlı saat gibi çeşitli saatlerin icadına yol açtı, fakat o sırada Galileo bunu açıklayamadı. Bunun için başka bir ikinci dereceden denklem gerekiyordu.

Önceki yazı