15 Kasım 2019

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Newton - 1

Newton, Galileo'nun öldüğü yılda doğdu ve bilimi ve matematiğin bilimsel öngörülebilirlikte oynadığı rolü anlama yolumuzu oluşturmaya devam etti. Newton, hem Galileo'nun hem de Kepler'in çalışmalarından ilham aldı. Bu bilimsel devler, dinamik ve gök mekaniği olaylarını doğru bir şekilde tanımlamışlardı; ancak ikisi de bilimsel açıklamaları formüle etmemişti. Gözlemledikleri fenomenin matematiksel açıklamasını sağlamak Newton'a kalmıştı.

İlk olarak Galileo'nun gözlemlerini açıklayan üç hareket yasasını formüle etti. İkinci olarak iki kütlenin, aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı bir kuvvetle birbirlerine doğru çekildiği temel kütle çekim yasasını tanımladı. Geometrik argümanları kullanarak böyle bir kuvvet yasasının, gezegenlerin bir konik şeklinde güneşin etrafında hareket etmesi gerektiğine işaret ettiğini kanıtladı. (Elbette, ters kare yasasının bilinen eğrilerle açıklanabilecek yörüngelere yol açması muazzam bir şanstı!) Newton ayrıca optik alanında da çalıştı ve Galileo'nun kullandığı teleskopların (lenslere dayalı olarak) farklı renklerde ışıkların farklı şekillerde kırılmasıyla sorunlara neden olmuştur. Bir aynaya dayanan bir teleskop tasarlayarak bunu aştı. Tüm noktaları odakta toplamak üzere aynanın alabileceği en iyi şekil, daha önce gördüğümüz yansıtıcı teleskopları doğuran parabolden başka bir şey değildi.


Bununla birlikte, Newton'un elinde daha başka kozlar da vardı. Çağdaşlarına bir şeyler açıklamak için geometrik argümanlar kullanırken aynı zamanda (Leibnitz'e paralel, ancak ondan bağımsız olarak) kalkülüsü geliştirdi. Bu, olayların değişme biçiminin matematiksel bir teorisiydi ve hareket yasalarına göre hareket eden nesneleri tanımlamak için mükemmeldi. Analizin gerçek dünyaya uygulanmasındaki temel cihaz, bir nesnenin koşullarındaki değişikliği (örneğin) üzerlerine etkiyen kuvvetlerle ilişkilendiren diferansiyel denklemdir. Diferansiyel denklemler doğal fenomenlerle ilgili matematiğin neredeyse tüm modern uygulamaların, ısının bir çubuktan nasıl aktığını anlamaktan hayvan derisi modellerinin gelişim şekline kadar kalbindedir. Uygulamaları neredeyse sınırsızdır ve modern teknolojinin çoğunda hayati bir rol oynarlar.

Newton hayatta iken bunların hepsi halen gelecekte olacaktı! Ancak dikkate aldığı bir problem, Galileo'yu ilgilendiren sarkaç hareketiydi. Bu hareket bir diferansiyel denklem olarak tanımlanabilir ve sarkaçın küçük dalgalanmaları durumunda bu denklem, salınım zamanını bulmak için çözülebilir. Bunu çözmek için ikinci dereceden bir denkleme çözüm bulunmalıdır!

$x$ sarkacın salınım açısı ise Newton sarkacın uzunluğu, hava direnci ve yerçekimi kuvvetinin gücü gibi özelliklere bağlı olan $a, b$ ve $c$ sayılarının varlığını fark ederek böylece hareketi tanımlayan diferansiyel denklem verdi: $$a\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx=0.$$
Burada $t$ zaman, $\frac{d^2x}{dt^2}$ sarkacın ivmesi ve $\frac{dx}{dt}$ onun hızıdır.