6 Aralık 2019

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Newton - 2

Bir bilgisayar kullanarak böyle denklemlere yaklaşık çözümler bulmak mümkündür ve bu genellikle modern teknolojide karşılaşılan çok karmaşık diferansiyel denklemler için kullanılan yaklaşımdır. Ancak matematikçi Leonhard Euler, ikinci dereceden bir denklemin çözümüne dayanan bu özel denklemi çözmenin bir yolunu tasarladı. Euler, $$x(t)=e^{wt}$$ formunun bir çözümünün varlığını önerdi. Bu fonksiyonun önemi ise şudur: $$\frac{de^{wt}}{dt}=we^{wt}.$$Diferansiyel denkleme yerleştirip $e^{wt}$ ile bölersek $w$ değişkenli aşağıdaki denklemi buluruz:$$aw^2+bw+c=0.$$Bu çok tanıdık! Orijinal diferansiyel denklemi çözmek için tek yapmamız gereken bu ikinci dereceden denklemi çözmek ve $w$ yerine geri koymaktır. Bunu yaparak sarkacın davranışını doğru bir şekilde tahmin edebiliriz.

Ayrıca büyüleyici olan, ikinci dereceden denklemin farklı çözüm türlerinin diferansiyel denklemin oldukça farklı çözümlerine yol açmasıdır. Eğer $b^2> 4ac$ ise ikinci dereceden denklemin iki gerçek çözümü vardır.

Aynı diferansiyel denklemin yandaki diyagrama benzeyen bir çözümü vardır. Fiziksel olarak bu çözelti çok fazla sürtünmeli bir sarkaç (veya su gibi bir sıvı içinde hareket eden bir sarkaç) anlamına gelir.

Aksine, eğer $b^2 <4ac$ ise o zaman aynı diferansiyel denklem alttaki şemaya benzeyen salınımlı çözümlere sahiptir. Bunlar daha çok aşina olduğumuz sarkaçın hareketleri gibidir.
Bu iki hareket türü arasındaki fark çok derindir ve ikinci durumda, ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşıktır ve -1'in kare kökünü içerir. Bunlara şu anda daha ayrıntılı bakacağız.

Bu tür diferansiyel denklemlerin (ikinci mertebeden sabit katsayılı denklemler olarak adlandırılırlar) kuadratik denklemler kullanılarak çözülebileceği keşfi olağanüstü bir öneme sahiptir. Bunun nedeni, diferansiyel denklemlerin evrenselliğidir ve ortaya çıkan kuadratik denklemin çözümlerinin, çözümlerin büyümesi, aynı boyutta kalması veya küçülmesinin muhtemel olup olmadığını bize bildirmesidir. Bu, güvenli yapılar ve makineler tasarlamaya çalışan mühendisler için çok önemlidir. Bu yapılarda, büyüyen küçük bozukluklar hızla yapısal başarısızlığa (kararsızlık denir) yol açacaktır. Elektrik devreleri için çok benzer hususlar geçerlidir. Pratikte bu, genellikle yukarıdaki ikinci dereceden denklemi çözüp köklerin, w'nin güvenli bir makinenin tasarlanabileceği belirli özelliklere sahip olup olmadığını bulmakla olur. Bazen büyüyen çözümler, özellikle rezonans fenomeniyle bağlantılı olduğunda faydalı olabilir. Sarkacı f frekansında yukarı ve aşağı titreştirdiğinizi düşünün. Bazı f değerleri diğerlerinden çok daha büyük tepkilere yol açar. Bu rezonanstır. Radyoyu her ayarladığınızda veya duşta şarkı söylediğinizde rezonansla karşılaşırsınız. Söylerken en iyi (ve en yüksek) ses, duş rezonans notalarıdır. Sallanan sarkaç durumunda rezonans frekansı, $$f=\sqrt{c/a}$$ tarafından verilir.

Önceki yazı: https://www.scengiz.com/2020/05/ikinci-dereceden-denklemlerin-100.html