12 Nisan 2020

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Cep Telefonları

Karmaşık bir ikinci dereceden denklemin cep telefonlarıyla ilgisi nedir? Durup bir an için bir sayının karesini aldığımızda ne olacağını düşünelim: Yani x'i alıp $x^2$'yi hesaplayalım. Fark edeceğimiz şey, x için hangi değeri alırsak alalım $x^2$'nin her zaman negatif olmadığıdır. Sonuç olarak $x^2=-1$'in bir çözümü olamaz. Matematikçilerin bu problemle başa çıkma yolu hilelidir ve varlık açısından bir çözüm tanımlamaktır! $i$ harfi $$x^2=-1$$ dekleminin bir çözümünü temsil etmek için kullanılır, dolayısıyla $i^2=-1$. Yani, $i$ gerçek bir sayı olamaz ve bu nedenle buna sanal sayı denir. $$(-i)^2 = -1 \times i \times -1 \times i = i\times i = -1$$ eşitliğine de dikkat edin. Yani $x = -i$ aynı zamanda $x ^ 2 = -1$ denkleminin bir çözümüdür.

Tarihsel olarak, sanal sayılar ilk kez ikinci dereceden değil kübik denklemleri çözmeye çalışırken ortaya çıktı. En kafa karıştırıcı olan şey ise bu zor ve sanal sayıları kullanarak kübik denklemleri çözmenin mümkün olmasıydı. Hatta hesaplama sırasında sanal sayılara ihtiyaç duyan durumun gerçek çözümleri olduğu ortaya çıktı!

Bu matematiksel düzeltmenin gerekçelendirilmesi gerekiyor! Aksi takdirde çözemeyeceğimiz bir problemle her karşılaştığımızda yeni sayı türleri icat etmeye devam edebiliriz. Sonunda harflerimiz bitecek ve her halükarda bu yeni sayı türlerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu anlayamayacaktık. Her şey umutsuz olurdu. Ortaya çıkan daha derin matematiksel sonuç ise aslında yeni tür sayılar icat etmenin oldukça gereksiz olduğuydu. Karmaşık sayılar olarak bilinen gerçek ve sanal sayıların bir kombinasyonunu kullanmak, neredeyse tüm matematik problemlerini çözmek için yeterli olur! Sanal sayıları gerçekten güvenle kullanan ilk kişi, 1707'den 1783'e kadar yaşayan Leonhard Euler'di ve kendisine ait diğer bir çılgın ve cüretkar matematik hesaplaması da 19. sayımızda (Chris Sangwin) birimiz tarafından yapılan sonsuz bir sürprizler serisinde açıklanmıştır.

$i$ sanal sayısı matematikteki en güzel formüllerden birinde ortaya çıkar ve $\pi$, $e$ (doğal logaritmanın temeli) ve $i$ sayılarını karmaşık sayılarla ilişkilendirir: $$e ^ {i \pi} = - 1$$Bu, üstel $e^ x$ fonksiyonunu karmaşık sayılar aracılığıyla $\sin(x) $ ve $\cos(x) $ ile bağlayan daha genel bir sonucun özel bir durumudur. Euler şunu bulmuştur:$$e ^ {it} = \cos(t) + i \sin(t).$$Burada $\cos(t) $ ve $\sin(t) $ salınan terimler olup periyodik olarak tekrar ederler. Bu formül, $e^{wt} $ şeklinde bir çözüme sahip olan sönümlü sarkacın modellenen diferansiyel denkleminin salınımlı çözümlere nasıl sahip olabileceğine dair bir fikir vermiştir. $w$ sanal veya karmaşık ise Euler’in formülü, üstel terimin $\sin(t) $ ve $\cos(t) $ kombinasyonu olarak yeniden yazılmasına izin verir.

$i$ sanal sayısının fiziksel dünyaya çok önemli bir başka uygulaması kuantum teorisinden geliyor. Bu teori, niceliklerin (elektronlar veya enerji fotonları gibi) hem parçacıklar hem de salınan dalgalar gibi davranabildiği mikroskobik düzeyde olaylarla ilgilenir. Gördüğümüz üzere salınım davranışı $ i $ kullanılarak tanımlanabilir. Bir miktarın "dalga sayısını" (belirli bir konumda olma olasılığını) hesaplamak için kullanılan kuantum teorisinin temel denklemi, Schrödinger denklemidir. Bu, $ i $ içeren bir (kısmi) diferansiyel denklemdir ve $$i \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla^2u + v(x)u = 0$$ şeklinde yazılabilir. Bu denklemin çok sayıda pratik uygulaması vardır. Yarı iletkenlerdeki elektronların ve deliklerin hareketini tahmin etmek için kullanarak, şaşırtıcı derecede karmaşık görevleri yerine getirebilecek çok sayıda bileşene sahip entegre devreler tasarlamak mümkündür. Bu tür devreler, bilgisayarlar, arabalar, DVD oynatıcılar ve cep telefonları dahil olmak üzere çok modern bir teknolojinin merkezinde yer almaktadır. Aslında bir cep telefonu konuşmanızı yüksek frekanslı radyo dalgalarına dönüştürerek çalışır ve bu dalgaların davranışı daha sonra $i$ içeren başka formüller kullanılarak hesaplanabilir. Dolayısıyla, basit ikinci dereceden bir denklem olan $x^2 = -1$ olmadan cep telefonunun asla icat edilemeyeceğini söyleyebiliriz.