21 Nisan 2017

Arşimet ve Karekök Üç

Belki de tarihte en sık konuşulan sorular arasında Arşimet'in $\pi$ değerini hesaplamak için kullandığı $\sqrt{3}$ yaklaşık değer hesabı yer alır. Arşimet bu hesap için $$\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}$$ eşitsizliğinden $\sqrt{3}=\frac{1351}{780}$ alıyor. Bu hesap konusunda Arşimet yeterli açıklama yapmadığından farklı tahminlerde bulunulmuştur.


Kullanılan yöntem her ne olursa olsun, $\sqrt{3}$ sayısının sürekli kesir açılımının kullanıldığı açıktır (ki bu da $x^2-3y^2=1$ Pell denklemi ile yakından ilişkilidir. Çünkü doğal olarak 3 'ten çok az büyük $(x/y)^2$ rasyonel tamkaresini arıyorsak bu $x^2$ tamsayısının çok az $3y^2$ tamsayısından büyük olması anlamına gelir). Aksi takdirde en iyi olasılık olan $\frac{1351}{780}$ ve $\frac{265}{153}$ tamkare kesirlerine nasıl ulaştıklarını açıklamak gerçekten zor olur. Fakat yine de Yunanlılar bu hesabı yapması için açık bir sürekli kesir algoritması gerekli tüm uzun bölmelerden dolayı zor sayılır.

Yunanlılar tarafından kullanılmış olabilecek olası bir yöntem şu olabilir: A sayısının kare kökü $\sqrt{A}=N+r$ olacak şekilde tamsayı ve kalan kısımlarına ayrılabilir. Burada N tamsayısı $N^2$ sayısı A sayısından küçük olacak şekilde alınan en büyük tamsayıdır. r'nin değeri $$s_{n}=2Ns_{n-1}+(A-N^2)s_{n-2}$$ yineleme formülüne dayanan tamsayı toplama ve çarpma işlemleri yardımıyla istenen kesinlikte yaklaşık hesaplanabilir.

Burada $n$ sonsuza giderken $(A-N^2)(s_{n}/s_{n+1})$ değerinin $r$ sayısına yaklaştığı açıktır. Eski Babil zamanından kalan bazı örneklerde görülen bu yönteme "merdiven aritmetiği" denir. Örnek olarak, $\sqrt{3}$ hesabı için $A=3$ ve $N=1$ alırsak yineleme formülü $s_{n}=2s_{n-1}+2s_{n-2}$ olur. $s_{0}=0, s_{1}=1$ başlangıç değerleriyle takip eden terimler $$2,6,16,44,120,328,896,2448,6688,18272,49920,...$$ olarak bulunur. Son iki terimden $r=\frac{571}{780}$ olup $\sqrt{3}=1+r=\frac{1351}{780}$ üst sınırı elde edilir. Benzer yolla 896 ve 2448 terimlerinden alt sınırı elde ederiz. Bu yöntemin avantajı basit tamsayı işlemlerine dayanmasıdır. Fakat eğer bu metodu kullandılarsa neden 6688 ve 18272 sayılarına dayanan $\frac{989}{571}$ sayısını neden alt sınır olarak almadıkları sorusu yanıtsızdır.

Diğer taraftan Arşimet'in alt ve üst sınırları hesaplarken kullandığı yöntem basit bir doğrusal kesirsel öteleme de olabilir. $3(3^2)=27$ sayısına en yakın tamkare $5^2=25$ olduğu gerçeğinden yola çıkan Yunanlıların $\sqrt{3}$ için yaklaşık değeri $5/3$ aldığını kabul edelim. Buradan eğer $x$, $\sqrt{3}$ için bir sınır ise $(5x+9)/(3x+5)$ ifadesinin diğer taraftan yakın bir sınır olduğunu görmek zor değildir. $x$ tahmini için hata olarak $e=x^2-3$ alınırsa bir sonraki tahmin için hata $$(\frac{5x+9}{3x+5})^2-3=-\frac{2e}{9x^2+30x+25}\approx -\frac{e}{51,98..}$$ bulunur. Böylece hata her basamakta yaklaşık $-1/52$ ile çarpılmaktadır. $x=5/3$ ile başlanırsa $x\to (5x+9)/(3x+5)$ öteleme dizisi $$5/3, 26/15, 265/153, 1351/780, 13775/7953, ...$$ elde edilir ki 2. ve 3. ötelemeler Arşimet'in alt ve üst sınırlarıdır.